PROBLEMAS CON TASAS RELACIONADAS

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.

La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.

Supongamos que un automóvil recorre 100 kilómetros en dos horas. La razón de cambio existente entre ambas variables es 50 kilómetros por hora. Ese valor representa su velocidad, ya que v = d / t (velocidad = distancia / tiempo).

A partir del conocimiento de una razón de cambio, es posible desarrollar diferentes cálculos y previsiones. Si conocemos el nivel de contaminación que está llegando a un arroyo a partir del vertido de sustancias químicas por parte de una industria, es posible utilizar la razón de cambio para señalar qué tan rápido se incrementa el nivel de contaminación.

Con un cálculo similar, se puede calcular la velocidad de propagación de una epidemia en una determina ciudad, tomando como datos la cantidad de personas que contrajo el virus en x días.

Es posible distinguir entre dos tipos de razón de cambio: la promedio y la instantánea, las cuales se explican a continuación. Es importante resaltar que haciendo uso de estos conceptos, se abren las puertas a la solución de ciertos problemas para los cuales los métodos algebraicos no son efectivos.

Razón de cambio promedio

Nuestro día a día nos enfrenta a diversas razones de cambio de situaciones sociales, económicas y naturales, entre otras, en las cuales deseamos saber cuál es el valor más grande o el más pequeño (el máximo y el mínimo, respectivamente), su crecimiento o su disminución en un período de tiempo determinado. Se trata de problemas en los cuales estudiamos fenómenos relacionados con la variación de una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria una descripción y una cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y modelos matemáticos.

Así como en el ejemplo del coche que recorre 100 kilómetros en dos horas, los problemas que nos llevan a calcular la razón de cambio promedio arrojan resultados en los cuales se determina una variación que no necesariamente existe en la realidad a cada momento; en otras palabras, no sabemos si el coche ha mantenido esta velocidad a lo largo de las dos horas, sino que estimamos el promedio de unidades de distancia al cual debió avanzar para completar dicho recorrido.

Razón de cambio instantánea

La razón de cambio instantánea también se denomina segunda derivada y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado. No olvidemos que la razón de cambio muestra la proporción en la que cambia una variable con respecto a otra o, desde un punto de vista gráfico, la pendiente de una curva.

Si retomamos el ejemplo del coche, la razón de cambio instantánea podría resultar útil para conocer el trayecto recorrido en un punto específico de las dos horas, que es el plazo de tiempo total analizado en el problema. A diferencia de la razón promedio, la instantánea tiene una visión muy puntual, ya que busca conocer o corregir valores antes de que finalice el periodo.

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EJERCICIOS SOBRE PROBLEMAS CON TASAS RELACIONADAS

Ejercicio No. 1

Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen  aumenta a razón de 100^3/s.

¿Con que rapidez crece el radio del globo cuando su diámetro es 50 cm?

Ejercicio No. 2

Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta su longitud y su diámetro aumenta a razón de 0.04 cm/min y 0.01 cm/min respectivamente. ¿ A que razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mide 20 cm y el diámetro 3cm? 

Ejercicio No. 3

Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que esta a 12 metros de distancia. Si un hombre de 2 metros de alto camina desde la lámpara hacia el edificio a una velocidad de 1.6 m/s, ¿Con que rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se encuentre a 4 metros de este?

Ejercicio No. 4

Se introduce agua en un recipiente cónico a razón de 40ft^3/min. Si la altura del recipiente es 15ft y su abertura circular tiene radio 6ft, ¿con que rapidez sube el nivel del agua cuando el liquido tiene una profundidad de 10ft?

Ejercicio No. 5

En una escalera de 5m descansa apoyada en una pared si el extremo inferior de la escalera resbala a 1,2m/s a qué velocidad se desliza el extremos inferior cuando  el está a 3m del suelo.