La optimización se refiere al tipo de
problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para
realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores
mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima
para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc.
La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta
a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.
Estos problemas son diferentes a los
problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los
Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que
una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la
optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El
mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local,
respectivamente.
Puede haber casos, donde el mínimo o máximo
global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la
función correspondiente puede ayudar en gran manera.
Hay algunos pasos que deben seguirse
con el fin de desglosar un problema de optimización:
1). Lo primero y más importante es
identificar las variables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar
la parte de la función que será minimizada o maximizada.
2). Escribir la fórmula adecuada para
la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.
3). Ahora, la fórmula será escrita en
términos de una sola variable, es decir, f®.
4). Establezca la diferenciación de f®
a 0, f ‘® = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros
valores críticos para encontrar los valores extremos.
Por ejemplo, considere la función, g ®
= -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será
encontrado [0, 1]. Calculando g ‘® se obtiene,
g’ ® = −2r + 4 = 0
Por lo tanto, 2 viene a ser un valor
crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo
uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,
g (0) = −2 g (1) = 1
Se puede
observar, que el valor máximo de g® en [0, 1] es 2.
Vídeo 1
Vídeo 2
EJERCICIOS SOBRE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Ejercicio No. 1
Calcule el área máxima que puede, tiene un triángulo
rectángulo tal que suma de la longitudes de sus dos catetos vale 4 cm
Ejercicio No. 2
Descomponer el número 81 en dos sumandos de forma que el
producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máximo.
Ejercicio No. 3
Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para
construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima superficie
interior posible
a)
¿que longitud deben tener los postes y el
larguero?
b)
¿que superficie máxima interior tiene la
portería?
Ejercicio No. 4
Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar
rectangular. ¿Qué dimensiones deberá
tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible?
Ejercicio No. 5
Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un
triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15.
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